Особенности развития математических представлений у детей дошкольного возраста в педагогической системе Марии Монтессори

Одними из самых сложных знаний, умений и навыков, включенных в содержание общественного опыта, которым овладевают подрастающие поколения, являются математические. Они носят отвлеченный характер, оперирование ими требует выполнения системы сложных умственных действий. В повседневной жизни, в быту и в играх ребенок достаточно рано начинает встречаться с такими ситуациями, которые требуют применения, хотя и элементарного, но все же математического решения (приготовить угощение для друзей, накрыть стол для кукол, разделить конфеты поровну и т. д.), знания таких отношений, как много, мало, больше, меньше, поровну, умения определить количество предметов в множестве, выбрать соответствующее количество элементов из множества и т. д. Сначала с помощью взрослых, а затем самостоятельно дети разрешают возникающие проблемы. Таким образом, уже в дошкольном возрасте дети знакомятся с математическим содержанием и овладевают элементарными вычислительными умениями, а развитие у них элементарных математических представлений является одним из важных направлений работы дошкольных учреждений[2].

Мария Монтессори считала, что без математического воспитания и образования невозможно ни понять прогресс эпохи, ни принять в нём участие. Математика не является неким особо сложным явлением, суть которого может постигнуть только специально одарённый человек. Математическое сознание присуще любому человеку, в том числе и маленькому, потому что тесно связано с его обыденной жизнью. Дети с лёгкостью изучают нумерацию, пересчитывая предметы. Ребёнок движется от восприятия конкретных предметов, сравнения их друг с другом к построению рядов от большего к меньшему, от длинного к короткому. При этом он действует сообразно интенсивно развивающимся в этот период его жизни чувствам: зрению, слуху, осязанию и др. Детский ум одновременно впитывает многообразный сенсорный и моторный опыт, развивая при этом математические способности. Даже если специально не заниматься с ребёнком математикой, а просто окружить его предметами, которые можно пересчитывать и выстраивать в логической последовательности, ребёнок будет спонтанно развивать свои математические способности.

М. Монтессори называла свою педагогику системой раскрытия человеческого потенциала в свободной и самостоятельной деятельности ребёнка в специально подготовленной взрослыми развивающей среде. В основе лежит идея опосредованного умения то есть ребёнок определённым образом действует с теми или иными предметами и косвенно, сам того не замечая, учится сравнивать, дифференцировать или объединять, анализировать свои действия.

Монтессори – учитель всегда показывает ребёнку рациональный способ работы с материалами, даёт образец действий с ним, направленный на раскрытие свойств и отношений, заключённых в материале. Подобный показ в Монтессори – педагогике традиционно называется Презентацией материала. Учитель позволяет ребёнку заниматься с материалом так долго, как он захочет. И приходит на помощь только по просьбе ребёнка. Дети выбирают материал по собственной инициативе, а не по выбору педагога. Так как по мнению М. Монтессори «Ребёнок, который сам выбирает себе занятие, может при этом выразить и удовлетворить внутреннюю потребность.»
Многолетний опыт работы самой М. Монтессори и её последователей в разных странах мира показал, как положительно влияет свобода выбора на процесс развития ребёнка, на его мотивацию, на эффективность его обучения и глубину понимания изучаемого предмета. М. Монтессори говорила «Каждый индивидуум упражняется с живым интересом для самого себя; у каждого ученика происходит процесс в соответствии с внутренней необходимостью развиваться. Отсюда каждый достигает соответствующей ему степени зрелости, и как следствие свободного выбора достигается логический и систематический умственный прогресс.

При затруднении ребёнка в выборе материала учитель сам предлагает материал, ориентируясь на зону ближайшего развития ребёнка, и привлекает внимание к тем материалам, посредством которых тот может научиться чему–то новому.
Особенность материалов Монтессори в том, что они допускают возможность самоконтроля. При изучении математики, это чаще всего – наличие контрольных карт. К карточкам с примерами и заданиями прилагаются карточки с ответом.
Ребёнок в Монтессори – группе не является слушателем, пассивно воспринимающим объяснения учителя, но, напротив, активно приобретает знания, умения и навыки в ходе самостоятельной работы. Материалы носят автодидактический характер и становятся помощью ребёнку в процессе самообучения. Педагог же доброжелательно и ненавязчиво руководит ребёнком, становясь посредником между ним и подготовленной средой. Поработав с сенсорным материалом и научившись мыслить логично и точно, ребенок без труда переводит в математические термины уже хорошо знакомые ему понятия. Причем обучение математике проходит очень естественно: малыш просто живет в подготовленной среде, насквозь пропитанной математикой. Мария Монтессори называла человеческий ум математическим умом, подразумевая под этим, что математика есть нечто присущее человеку, связанное с его жизнью. Вся человеческая культура и, прежде всего, высокоразвитая техника и индустрия, опирается на математику.

Математические материалы построены в тесной связи с сенсорными материалами и учитывают сенсомоторные потребности ребенка. Многочисленные упражнения позволяют ребенку самостоятельно сделать удивительные открытия и при этом приобрести точный подход, необходимый в математике, учиться абстрагировать. На этом конкретном материале даже младшие дети могут решать довольно сложные задачи. Достойна великого восхищения, выложенная на маленьком коврике, картина десятичной системы, составленная четырехлетним ребенком из сотни бусин, стерженьков, кубов и их цифровых изображений. Золотой материал и работа с ним – важнейший этап Монтессори метода. С помощью зримой и осязаемой десятичной системы, ребенок учится овладевать числом и арифметикой, а, в сущности, делает шаг к овладению миром.

Математические материалы построены так, чтобы была видна связь арифметики и геометрии, что вполне соответствует исторической линии в развитии математических знаний человечества. В построении системы материалов и в методике работы с ними соблюдаются два важнейших принципа:
• от конкретного к абстрактному;
• от знакомства с количествами, через знакомство с символами к соотнесению количеств и символов.

Зона математического развития содержит все необходимые материалы для того, чтобы ребенок научился операциям сложения, вычитания, умножения и деления, освоил порядковый счет - все то, что считается важным критерием готовности ребенка к поступлению в школу.

Все математические материалы можно разделить на четыре основных групп;
• введение в мир чисел от 0 до 10;
• введение в десятичную систему; освоение последовательного счета;
• освоение арифметических операций с однозначными числами;
• знакомство с дробями.
Действия, которые выполняет ребенок, упражняясь с материалом, естественны и просты для него. Он сравнивает, уточняет, измеряет, систематизирует, манипулируя с простыми предметами окружающей его среды. Именно эти действия ведут к появлению математического познания. Постепенно и опосредованно, через предметы среды, ребенок самостоятельно формирует математические понятия. Этот процесс имеет культурно – антропологический смысл.
Материалы первой группы служат для обучения счету до 10, как в прямой, так и в обратной последовательности, для знакомства с цифрами от 0 до 9, а также для формирования умения соотносить количества в пределах десяти и соответствующие им числа. В первую группу входят следующие материалы: счетные палочки; цифры из шершавой бумаги; счетные штанги и числа; ящики с веретёнами – где ребёнок узнаёт смысл нуля, а также упражняется в соотнесении количеств и чисел; материал «числа и чипсы» служит для проверки умения ребёнка считать до 10, знания чисел, а также знакомится с идеей чётных и нечётных чисел.
Если ребёнок освоил материалы первой группы, он может переходить к материалам второй и третьей групп, с которыми лучше работать параллельно.
Вторая группа предназначена для знакомства с многозначными числами и четырьмя основными арифметическими действиями с ними: сложением, вычитанием, умножением и делением.
Материалы этой группы дают ребёнку возможность понять, какова структура многозначных чисел, что такое разряд числа и как происходит переход из одного раздела в другой в ходе арифметических действий.
Знаменитый «золотой материал» Монтессори из золотистых бусин позволяет не только увидеть, но и ощупать руками, ощупать форму и даже вес таких количеств, как нескольких единиц, несколько десятков, сотен или тысяч бусин.
Материалы третьей группы служат для обучения последовательному счёту и запоминанию правильных, общепринятых названий чисел. Третья группа включает в себя стержни с бусинами для введения количеств 11-19. на этом материале ребёнок знакомится с количествами 11-19 и учится последовательно считать до 19.
Доска Сегена 1: Ребёнок учится сопоставлять количество и число от 11 до 19. количества представлены при помощи стержней из «золотых» и цветных бусин.
Доска Сегена 2: Предназначена для запоминания названий двузначных чисел и сопоставления их с количеством от 11 до99.
Сотенная цепочка и тысячная цепочка служит для последовательного счета до 100 и до 1000, также ребёнок узнаёт, что первую цепочку можно свернуть в квадрат, а вторую в куб.
Материалы четвёртой группы предназначены для постепенного запоминания таблиц сложения, вычитания, умножения и деления чисел. В результате работы с этими материалами ребёнок должен научиться свободно выполнять «в уме» сложение и умножение однозначных чисел и обратные им действия: вычитание, если вычитаемое и разность – однозначные числа, и деление без остатка на однозначный делитель, если делимое не превышает 81.материалы разбиты на 4 серии соответственно четырём арифметическим действиям.
А также, понятие количества входило во все упражнения для воспитания чувств: длиннее, короче, темнее, светлее. Также понятия тождества и различия составляли часть техники развития внешних чувств; упражнения начинались с распознания тождественных объектов и переходили в группировку известной градации похожих предметов» [1, 44]
Для начала нужно показать, какие именно элементарные математические представления и логические операции развиваются у детей в системе Монтессори и как расширяется их словарный запас с помощью сенсорных материалов. Можно выделить пять этапов работы с сенсорными материалами. При этом первые три этапа описаны самой Монтессори, здесь же приведена классификация упражнений[3]:
1. работа с предметами, наиболее контрастирующими по состоянию исследуемого свойства или обладающими этим свойством в его «основных» проявлениях;
2. составление пар одинаковых по состоянию этого свойства предметов;
3. градация или построение сериационного ряда по степени изменения исследуемого свойства;
4. упражнения на:
• повторение показанного способа действия с предметами и решения предлагаемой задачи практического и познавательного характера в целом,
• применение показанного способа действия к другим предметам из того же материала,
• модификацию показанного способа действия с предметами,
• овладение другими – более сложными или открывающими новые возможности исследования свойств предметов – способами действия с теми же предметами,
• применение полученных представлений о свойствах предметов и освоенных способов действия в реальной жизни;
5. расширение словарного запаса за счёт усвоения и использования новых терминов, описывающих свойства и отношения предметов и явлений действительности.
Сейчас, остановимся подробнее на описании каждого из этих этапов работы.
Развитие элементарных математических представлений через различение, составление пар и сериацию.
Контрасты. Смысл начального этапа работы с материалом состоит в том, чтобы получить первое впечатление об исследуемом свойстве, ощутить различие предметов по состоянию этого свойства, если различие проявляется в наибольшей степени, допускаемы данным материалом. Так, например, для первого этапа работы с геометрическими телами педагог выбирает три тела, наиболее контрастирующие по форме, – как правило, куб, шар, конус; а с цветными табличками – ящик с шестью табличками трёх чистых цветов спектра? Красного, жёлтого и синего. Знакомство с размерами начинается с предъявления ребёнку двух наиболее контрастных цилиндров блока – чаще всего самого толстого и самого тонкого или самого большого и самого маленького. Для различения и составления пар музыкальных тонов первоначально выбираются три пары звоночков: самого низкого, самого высокого и одного из промежуточных тонов. Работа с серией материалов, предназначенных для знакомства с формой плоских фигур, начинается с обследования формы трёх «основных» фигур – квадрата, круга и треугольника – путём обведения пальцами фигуры-вкладыша и соответствующего ей отверстия, а также сопоставления фигуры с отверстием.[4, 127]
Составление пар. Первый этап работы неотделим от второго – нахождения пар предметов, одинаковых по состоянию какого-либо свойства – по цвету, вкусу, запаху, звучанию и т.д. Упражнения по поиску одинакового среди контрастов («идентичности») очень сильно фиксирует различия и делает их через это заметными. На первых двух этапах работы с сенсорными материалами у ребёнка начинает формироваться, таким же образом, представление о различии и равенстве.
Сериационные ряды. «Заключительное упражнение на дифференциацию, - пишет Монтессори, - состоит в том, чтобы привести в правильный порядок градуированный ряд беспорядочно смешанных друг с другом предметов… с систематически разделённым по степеням различием».
Процесс построения сериационного ряда состоит в последовательном выборе из имеющихся, ещё не упорядоченных предметов такого, который превосходит остальные по степени проявления данного свойства, т.е. предмета у которого это свойство проявляется в наибольшей степени.
Развитие элементарных математических представлений на упражнениях с сенсорными материалами.
Весьма важным этапом работы с Монтессори-материалами, в частности с сенсорными, является расширение словарного запаса. В данном случае оно происходит за счёт усвоения и использования новых терминов, описывающих свойства и отношения предметов и явлений действительности. Как известно, часть речи, обозначающая признак предмета и отвечающая на вопрос «Какой?», «Какая?», «Какое?» или «Какие?», называется прилагательным и их степеней сравнения. Иногда могут быть введены существительные, например названия геометрических фигур. Допустим, кубы розовой башни отлично подходят для запоминания прилагательных «большой - маленький», их сравнительной степени «больше - меньше», а также превосходной степени – «самый большой - самый маленький». Бруски коричневой лестницы удобны для знакомства с прилагательными «тонкий - толстый», а красные штанги – с прилагательными «длинный - короткий» и их степенями сравнения. Термины «тёплый - холодный» вводятся посредством тепловых бутылочек, а термины «тяжёлый – легкий» - весовых табличек и т.д.
Математика не является неким особо сложным явлением, суть которого может постигнуть только специально одарённый человек. Математическое сознание присуще любому человеку, в том числе и маленькому, потому что тесно связано с его обыденной жизнью.
Ребёнок отражает действительность на уровне представлений, а эти связи усваиваются им в результате непосредственного восприятия вещей и деятельности с ними. Таким образом, можно сказать, что ребёнок-дошкольник не обладает достаточными способностями для того, чтобы связывать друг с другом временные, пространственные и причинные последовательности и включать их в более широкую систему отношений.
По-нашему мнению, особенностью развития математических представлений в педагогической системе Монтессори является то, что ребёнок движется от восприятия конкретных предметов, сравнения их друг с другом к построению рядов от большего к меньшему и пр. При этом он действует сообразно интенсивно развивающимся в этот период его жизни чувствам: зрению, слуху, осязанию и др. Детский ум одновременно впитывает многообразный сенсорный и моторный опыт, развивая при этом математические способности.

Библиографический список
1. Монтессори М. Руководство к моему методу? Пер.с итал. – М., 1916
2. Современные образовательные программы для дошкольных учреждений/ Под редакцией Т.И.Ерофеевой. – 2-е издание, стереотип. – М.: Издательский центр «Академия», 2000.
3. Сорокова М.Г. Математика по методу Монтессори в детском саду и школе. – М., 1997
4. Сорокова Система М.Монтессори. Теория и практика.3-е издание, «Академия», 2006